“有指导的再创造”的一个生动案例——一次难忘的“空瓶换饮料”的意外生成

陈景发是福建省南安市第一小学的数学教师，也是福建省小学数学学科带头人。2004年“五一”长假期间，他给笔者发来了“空瓶换饮料”的课堂教学实录。笔者立即被这堂数学课意外而精彩的生成感动了，便决定把它作为一个案例来研究。

教学案例的研究首先要确定研究的主题，然后才能围绕研究主题对课堂教学实录中的课程事件与情节进行取舍和文学加工。这个文学加工绝不是凭空杜撰，而是把课堂教学实录变成娓娓道来、耐人寻味的故事，并把所要说明的道理寓于其中。

这个教学案例的研究与写作，笔者前前后后用了将近一年的时间。“课堂写真”部分写于2004年12月，“评析与讨论”部分直到2005年3月才完成。《福建教育》2005年第8期刊发了这个教学案例，全文如下。

【课堂写真】

2004年4月28日上午，我走进二年5班教室准备上数学课的时候，发现良楷同学的小手高高地举着。

“良楷，你有什么事？”

“老师，我想考你一道数学题行吗？”

这小子又来了，上一节课就因为解决他的数学问题把我的教学计划打乱了，现在还让他问下去吗？我犹豫了，本想告诉他下课后再问，可是他已经站起来说了：

“老师，有13个空的饮料瓶，如果两个空饮料瓶可以换一瓶饮料，那么13个空瓶一共可以换几瓶饮料呢？”

哇！这小家伙表达的真不错，问题也很有价值，我何不引导学生探索一下这个问题呢？我当机立断，决定这节就上“空瓶换饮料”。

画画图形

我来个激将法：“谁能解决良楷同学的问题呢？”

林鸿锟迫不急待，脱口而出：“太简单了，可以换6瓶。因为13除以2等于6瓶，还剩余1个空瓶子。”教室安静了下来。

我见大家没有异议，就问良楷：“这个解答你满意吗？”

“错了！”良楷胸有成竹，接着他把话锋又转向了我：“老师，还是你说一说吧！”

今天，这小子成心是要考老师的。

我笑了笑答道：“可以换12瓶，对吗？”话音刚落，教室顿然炸开了，学生们一脸迷惑，对这样的结果他们感到意外：“怎么会有12瓶呢？”这时，良楷站了起来：“老师，你说对了，但你是怎么想的呢？”这时，全班的目光都盯着我。

“好吧，请同学们拿出草稿纸。其实，可以通过画图来解决这个问题。

我在黑板上画了下图：

图中，用○表示空瓶子，用□表示饮料。这张图清楚地表示13个空瓶子，第一次可以换到6瓶饮料，还剩下1个空瓶。换来的饮料喝掉了又变成空瓶，因此可以再换饮料。

“同学们，你们能继续把这个图画下去，看看一共能画出多少个□，也就知道能换多少瓶饮料了。”

这个方法新鲜，孩子们饶有兴致地画着，小声地讨论着。一会儿，有答案了：“真的能换到12瓶饮料。”

能用画图解决这个难题，良楷事先也没有想到，他兴奋地告诉我，“老师，画图的方法真好！我喜欢！”

写写算式

“除了画图解答外，还能列算式解答吗？”我又提出问题，继续挑战学生的思维，“其实，刚才林鸿锟同学已经想到列算式来解答了。他列的算式是……。”

我一边把算式（13÷2＝6……1）写在黑板上，一边引导学生结合刚才画图的过程，想一想这个算式表示什么意义。

“这个算式表示的是用空瓶换饮料，第一次可以换到6瓶饮料，还剩下1个空瓶。”一个学生抢着应答。

“那么，继续下去，第二次能换到几瓶饮料，怎么列式计算呢？”我启发道。这时，一部分学生已经恍然大悟了，一些小组还在热烈的讨论着。

列式解答的过程渐渐明朗了。我请叶扬同学向全班汇报：

第二次换饮料：6÷2＝3，可以换3瓶，还有1个空瓶；

第三次换饮料：3＋1＝4，4÷2＝2，可以换2瓶饮料；

第四次换饮料：2÷2＝1，可以换1瓶饮料。

       6＋3＋2＋1＝12（瓶）

所以，一共可以换到12瓶饮料。

小学二年级下学期，学生刚刚学过“商是一位数的有余数的除法”，就能理解并解决这么复杂的数学问题，的确出乎我的意料。我的本意只是，让学生体验画图解答的步骤和与列式解答的过程是一一对应的，把图形表达的意义用数学符号描述出来，就是列式解答问题的过程。

找找规律

“你们真不简单！不仅会画图解答，还会列式解答。”我接着又问道：“如果有25个空瓶，能换多少瓶饮料呢？”

汪萍答道：“我想应该可以换24瓶饮料吧。因为13个空瓶可以换12瓶饮料，12比13少1，所以，25个空瓶应该可以换24瓶饮料。”

“是这样吗？”我故作迷惑不解，“大家能不能用刚才学过的方法，来验证一下她的猜测？”

学生们又忙了起来了，有的画图，有的列式。一会儿功夫，他们大声地嚷着：

“没错，是24瓶。”

“是不是换得饮料的数量一定比空瓶的数量少1呢？”这一次，我要求每个学生自选一个空瓶的数量，再试一试。

一石激起层层浪。孩子们有的用30个，有的选40个，甚至100个空瓶来试验。不久，又有了结果。

“我用50个空瓶做试验，结果是49瓶”。

“我用80个空瓶子做试验，结果是79瓶。”

“我敢肯定地说，换得饮料的数量一定比瓶子的数量少1。”

“老师，这个问题真有趣！”

说说道理

    “是啊，这个问题真有趣。”我趁热打铁，继续扩大成果：“为什么换得饮料的数量一定比空瓶的数量少1呢？谁能说个明白？”

“我不知道什么原因，但我知道一定是少1，因为我们都试过了。”这个学生的意见有代表性。

“老师，你能说明白吗？”

“老师也在想啊！大家一起再想想好吗？”我不能轻易地向学生奉献真理。

教室里安静极了，孩子们思考着，终于有个小手举起来了。

“老师，13个空瓶我先拿两个去换，可以吗？”黄跃进同学起身询问我。

“可以啊，你继续说吧。”我鼓励他，也预感到我的耐心等待有了回报。

“先拿两个空瓶换1瓶饮料，把它喝了就有了1个空瓶，只要再拿刚才剩下

的11个空瓶中的一个，就可以再换1瓶饮料。这样，可以换12次，每次换一瓶，所以可以换12瓶。”

这下子，教室里议论四起，热闹起来。

“对呀，我怎么没想到，这样换的话，30个空瓶就要换29次。”

“有道理，第一次拿两个空瓶去换，以后每次只要再拿1个空瓶就可以了，所以，100个空瓶可以换99次。”

“还可以这样想，真奇妙。”

快下课了，我想到这堂课，课尽了而意未尽，要留个小组作业。

“大家都把道理弄明白了吗？如果弄明白了，你们能把这个道理也用图一目了然地表达出来吗？刚才大家对‘13个空瓶能换12瓶饮料’没有怀疑了，可是智慧老人却说可以换13瓶饮料。这究竟是怎么回事？这两个问题就是今天留给小组来合作完成的作业。”

【课后反思】

在新课程改革中，学生资源是课堂教学取之不竭的源泉。如果老师能善待学

生的问题，并把问题解决的策略建立在学生已有的认知发展水平与学习经验上，那么，数学学习活动就能有效地激发学生的学习兴趣，提高学生的问题解决能力，发展学生的数学思维能力，培养学生的实践能力与创新精神。

当学生提出“13个空瓶子可以换几瓶饮料”的问题时。我的第一感觉是这个

问题既简单又有探索的空间，认为它简单是因为学生刚学过“有余数的除法”，应该能很快地说出“可以换6瓶”；认为它有探索的空间是因为良楷同学是一个喜欢课外阅读和独立思考的孩子，如果是“可以换6瓶”这么简单的问题，他应该不会急着向我发问。于是我灵机一动把接过来的“球”再传出去，“谁能解决良楷同学的问题”所引发的教学经历却让我难以忘怀。

当学生面对“13个空瓶子可以换12瓶饮料”这个答案感到意外与困惑时，

如果教师口头表达或在黑板上以算式来描述思考的过程，可能接受学习较慢的孩子还是不能理解，因为以符号语言来解决这个问题的过程比较复杂，每一步计算所隐含的意义，学生是难以理解的。怎么办呢？此时我想起了王永老师的《图形语言的功能》，并引导学生画图，学生在画图的过程中思维逐步地清晰了起来，智慧的火花被激活了。是啊！学生喜欢有趣的数学，更喜欢富有现实的、有意义的、富有挑战性的数学。如果教师能充分地利用学生的思维发展水平和顺着学生数学思考的方向进行点拨与诱导，那么学生就会在观察、比较、对话中，自主探索与发现数学的奥秘，不断地完善学习方法，增强学习信心。

当学生猜测“25个空瓶可以换24瓶饮料”时，我忽然感到“换饮料”的生、

活现象中隐含着一定的数学规律，应该引导学生去探索、去发现，让他们在探索的过程中初步体验探索与发现的方法，品尝自己是一个发现者、探索者的喜悦。是的，在新课程改革中，教师将面对学生的挑战，老师也有可能遇到一些暂时没有办法解决的问题，但只要你真诚地等待，给孩子们留下一点思考的空间，你就能从孩子的想法中得到一点启迪，找到推进教学过程的契机。因为等待，我点亮了一盏盏明灯，也照亮了自己。（陈景发）

【学生反馈】

我最喜欢的一节课是：空瓶换饮料。我最感兴趣的数学问题是：为什么空瓶换饮料的数量一定比空瓶的数量少1。当我遇到不会列式解答的数学问题时，我会想到用画图来解决，画图的方法真好啊！（摘自汪萍同学的“数学小报”）

【评析与讨论】

这是个好案例。去年看到它时，就想为它做个评析，但却找不到恰当的切入点和理论背景。最近，读佐藤  学的《学习的快乐——走向对话》突发了灵感。佐藤  学认为数学课程改革，从“广而浅”的课程向“少而深”的课程转型，是迫在眉睫的课题。他还指出，从社会建构主义的理论出发，数学课程改革有两个基本课题：一是在数学的学习中如何建构创造性、操作性的活动的课题；二是如何使数学的学习重建为基于沟通的社会过程。我想，“空瓶换饮料”的教学案例，涵盖了上述课题的意义：一是如何选择和组织数学学习的内容，二是如何组织数学学习的过程。

如果不是学生向老师挑战，提出“空瓶换饮料”的问题，哪个小学二年级的

数学老师敢选择这么“深”的素材来组织教学呢？组织课堂数学学习的课题任务，要“浅”好，还是“深”好呢？又怎么把握深浅的“度”呢？降低数学内容的难度，与培养创造性思维能力和问题解决能力的时代要求是背道而驰的。“倘若内容平易，是不能创造性地展开思维能力的教育的。以低级的思维处理高层次的内容是可能的，但以低层次的内容培养高级的思维是不可能的。”（佐藤  学）而课题的深度要把握在学生“最近发展区”的框架之内。

维果茨基把儿童能够独立达成的水准与经过教师和伙伴的帮助能够达成的

水准之间的落差，叫做“最近发展区”，提示了儿童的学习在“最近发展区”里是可以社会建构的。维果茨基指出，使用“语言”这一“心理学工具”的人类的学习首先是在“人际关系”的社会过程之中形成的，然后向“自内我关系”的心理发展。“最近发展区”是主张人类学习的社会性概念。

“最近发展区”的概念频频出现在许多教师的论文中，但往往对它的理解，

只落到认知的维度上，不知道“最近发展区”概念本身就包含了“合作学习”，也不知道基于沟通的学习过程既是儿童建构数学的意义，又是建构伙伴关系，也是建构自我的社会过程，因此没有真正弄明白“伙伴互教互学”的重要性。

在“独立学习”与“合作学习”的关系上，我曾经认为“独立学习”是第一位的，“合作学习”第二位的；把“合作学习”建立在“独立学习”的基础之上，“合作学习”才可能是有效的。从社会建构主义理论来看，这个观念是应当质疑的。只有在“现有发展区”的框架内，独立学习才行得通，而在“最近发展区”的框架内，靠独立学习解决不了问题。建立在“独立学习”基础之上的“合作学习”，往往“课堂中见解的交换，是作为学习成果的发表进行的，学习的过程并没有合作性地加以组织。”

这个案例的价值在于，它展示了数学意义的建构，是如何通过“空瓶换饮料”这个课题性活动为媒介的合作性沟通的过程。画画图形，写写算式，找找规律，说说道理——在一个个相互关联的数学学习的活动中，我们看到“学习”是怎样以人际交往为基础形成的，是怎样以基于人际沟通的模仿为基础形成的。“学习”即便是从个体出发又归结为个体，却是在个体与个体的碰撞之中形成的。

在这种课堂里，鼓励儿童依赖他人的观念，又积极贡献自己的观念与他人分享，实现“互惠学习”。

在这种课堂里，教师才真正成为数学学习的组织者、引导者与合作者。这不但需要教师尊重并很好地倾听和理解每一个学生的认知与表达，而且必须提供学生交流自己的形象与思考的机会，并探求对话性沟通的形成。

从这个教学案例，我们还看到教师在努力开拓数学课堂语言的多样性与多层性，通过以图形语言、符号语言和普通语言为工具的对话与沟通，既为这些“外部语言”内化为学生的“内部语言”（思维）提供条件，也为学生的思维在同他人思维的碰撞中展开创造契机。

这是一个没有教案的教学案例，它是教师处理课堂偶发事件中，当机立断，“急”中生智，动态生成的。教师在刹那间能判断学生所提供的教学资源的教育价值，表现出“被动式能动性”的品质，是难能可贵的。这不仅需要具有先进而坚定的教育信念，更需要具备丰富的教学策略和敏锐的教育机智。而教学策略与教育机智的源泉，就是行动研究，即反思性的教学实践。

重温这个教学案例，笔者发现：它也是活动数学课堂教学的一个经典范例，是弗赖登塔尔倡导的“有指导的再创造”的教学方法的生动写照，具有再度研究与开发的价值。

“空瓶换饮料”是问题解决的数学活动。这个实际问题不同寻常，它是非常规的，没有现成的解题套路；又是学生提出的，用以挑战教师智慧的“考题”，不能不引起孩子们浓厚的兴趣。贯穿问题解决整个过程的，是孩子们画画图形、写写算式、找找规律和说说道理等四个数学活动。

活动1——画画图形。画“○”表示1个空瓶，“□”表示1瓶饮料，通过如下画图的动作，直观地解决问题。

图中一共有12个□，表示13个空瓶能换12瓶饮料。

活动2——写写算式。反思活动1：能否用算式表示图形运作的过程与结果？

促进学生的思维从操作水平提升到表象水平，即理解所画图形的数学意义。

13÷2=6（饮料）……1（空瓶），

6÷2=3（饮料），3＋1=4（空瓶），

4÷2=2（饮料），2÷2=1（饮料），

6＋3＋2＋1=12（饮料）。

上述一系列的算式还不是学生的思维对象，它们只是用来记录图形运作的过

程与结果。

活动3——找找规律。反思活动2：换成饮料的数目是否总是比空瓶的数目

少1呢？如果这是你的猜想，能否为它再寻找一个新证据？（请学生自己确定空瓶的一个数目，再算一算能换成多少瓶饮料。）促进学生的思维从表象水平提升到分析水平，促使算式成为思维对象，成为解决问题的工具或手段。如果空瓶的个数是一个较大的数目，便能体会到通过计算解决问题的必要性。

活动4——说说道理。反思活动3：能否用说理的方法，说明“空瓶换饮料”

的猜想为什么是正确的？促进学生转变观点，进一步提升抽象思维的水平。真没有想到：小学二年级学生居然能够想出递推的方法说明猜想的正确性。儿童的学习潜能真是不可低估。

其实，回到画图也可以直观地表示递推的道理：

    上图，可以继续发挥每个人的想象力，使你不能不信：换成饮料的数目总是比空瓶的数目少1。

    综上，不仅看到数学活动的教学是怎样在教师指导下学生进行再创造——既包括数学思维，也包括表示数学思维的数学语言；而且看到如何通过内容与形式之间的相互转换，促进数学思考与抽象思维水平的提升；还看到反思的重要性——既是联结两种思维水平的纽带，也是实现水平跳跃的动力。

    从具体到抽象，从特殊到一般，从已知到未知，从感性到理性，都是学生在“做数学”和“想数学”的数学活动中，不断积累起来的数学活动经验和逐步掌握的数学学习能力。我们可以期待，随着学生数学活动经验的不断丰富，数学学习能力与创造能力的不断发展，在活动的数学教学的课堂上，他们的自主性与创造个性将得到更加充分的解放。

        这个课堂偶发生成的教学案例，竟如此生动，如此富有教育意义，是可遇而不可求的。